Question

設(shè)f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3
（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）+g（x）在x=1處的切線方程
（2）如果對任意的s，t∈[

1

2

，2]，恒有f（s）≥g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，能求出曲線y=f（x）+g（x）在x=1處的切線方程
（2）由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出g（x）_max=g（2）=1．當(dāng)a≥1時，且x∈[

1

2

，2]，f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，設(shè)h（x）=

1

x

+xlnx，h′(x)=-

1

x2

+lnx+1，h′（1）=0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)a≥1時，對任意的s，t∈[

1

2

，2]，恒有f（s）≥g（t）成立．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時，y=f（x）+g（x）=

2

x

+xlnx+x³-x²-3，
y′=-

2

x2

+lnx+1+3x²-2x，
x=1時，y=2+1-1-3=-1，y′=-2+1+3-2=0，
∴曲線y=f（x）+g（x）在x=1處的切線方程為：y+1=0．
（2）∵g（x）=x³-x²-3，∴g′（x）=3x²-2x，
x∈（0，

2

3

）時，g′（x）＜0，
又g（

1

2

）=-

25

8

，g(

2

3

)=-

85

27

，g（2）=1，
∴g（x）_max=g（2）=1．
當(dāng)a≥1時，且x∈[

1

2

，2]，f（x）=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，
設(shè)h（x）=

1

x

+xlnx，h′(x)=-

1

x2

+lnx+1，h′（1）=0，
當(dāng)x∈[

1

2

，1]，h′（x）＜0，
∴h（x）=

1

x

+xlnx在[

1

2

，1]上遞減，在（1，2]上遞增，
∴h（x）_min=h（1）=1，即h（x）≥1，
即當(dāng)a≥1時，且x∈[

1

2

，2]，f（x）≥1成立，
∴f（x）≥g（2），∴f（x）≥g（x），
∴當(dāng)a≥1時，對任意的s，t∈[

1

2

，2]，恒有f（s）≥g（t）成立．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．