Question

14．已知冪函數f（x）=x^{（2-k）（1+k）}（k∈Z），且f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（1）求實數k的值，并寫出相應的函數f（x）的解析式；
（2）試判斷是否存在正數q，使函數g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在區(qū)間[-1，2]上的值域為[-4，$\frac{17}{8}$]．若存在，求出q的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由f（2）＜f（3）知冪函數在（0，+∞）上為增函數，故（2-k）（1+k）＞0，解出k即可．
（2）寫出g（x）的解析式g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，為二次函數，只需考慮二次函數的對稱軸和單調性即可．

解答 解：（1）因為冪函數f（x）=x^{（2-k）（1-k）} 在（0，+∞）上單調遞增，
所以（2-k）（1+k）＞0，故-1＜k＜2．
又因為k∈Z，故k=0，或k=1，所以f（x）=x²．
（2）由（1）知g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，
假設存在這樣的正數q符合題意，
則函數g（x）的圖象是開口向下的拋物線，
其對稱軸為x=$\frac{2q-1}{2q}$=1-$\frac{1}{2q}$＜1，
因而，函數g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2處取得
又g（2）=-4q+4q-2+1=-1≠-4，從而必有g（-1）=2-3q=-4
解得q=2，
此時，g（x）=-2x²+3x+1，其對稱軸x=$\frac{3}{4}$∈[-1，2]
∴g（x）在[-1，2]上的最大值為g（$\frac{3}{4}$）=-2×（$\frac{3}{4}$）²+3×$\frac{3}{4}$+1=$\frac{17}{8}$符合題意．

點評 本題考查冪函數的單調性、二次函數的值域問題，考查利用所學知識分析問題、解決問題的能力．