Question

6．證明：cos（cosx）＞sin（sinx）

Answer 1

分析 設sinx=t，f（t）=cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，分-1≤t≤0和0＜t≤1兩種情況進行證明f（t）＞0．

解答 證明：設sinx=t，則-1≤t≤1，cosx=±$\sqrt{1-{t}^{2}}$，cos（cosx）=cos（±$\sqrt{1-{t}^{2}}$）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$，
∴cos（cosx）-sin（sinx）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
令f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint，
（1）當-1≤t≤0時，0≤$\sqrt{1-{t}^{2}}$≤1，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞0，sint≤0，
∴f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint＞0，
（2）當0＜t≤1時，f（t）=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-sint=cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$-cos（$\frac{π}{2}$-t），
令g（t）=1-t²-（$\frac{π}{2}$-t）²=-2t²+πt-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1，
∵△=π²+8（-$\frac{{π}^{2}}{4}$+1）=8-π²＜0，
∴g（t）＜0，1-t²＜（$\frac{π}{2}$-t）²，
∵1-t²≥0，$\frac{π}{2}-t＞0$，∴$\sqrt{1-{t}^{2}}$＜$\frac{π}{2}-t$，
又∵$\frac{π}{2}-t＜\frac{π}{2}$，
∴cos$\sqrt{1-{t}^{2}}$＞cos（$\frac{π}{2}$-t），即f（t）＞0．
綜上，f（t）＞0，∴cos（cosx）＞sin（sinx）．

點評 本題考查了三角函數的性質，使用換元法轉化成函數是關鍵．