Question

16．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{b-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）為奇函數(shù)，利用f（0）=0，解得b，并且驗(yàn)證即可得出．．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．任取實(shí)數(shù)x₁＜x₂，只要證明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．
（3）f（x）為奇函數(shù)，由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0化為f（t²-2t）＜f（k-2t²），再利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（0）=$\frac{b-1}{4}$=0，解得b=1．經(jīng)過驗(yàn)證滿足條件．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
證明：任取實(shí)數(shù)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1-{2}^{-{x}_{1}}}{{2}^{-{x}_{1}+1}+2}$-$\frac{1-{2}^{-{x}_{2}}}{{2}^{-{x}_{2}+1}+2}$=$\frac{4（{2}^{-{x}_{2}}-{2}^{-{x}_{1}}）}{（{2}^{-{x}_{1}+1}+2）（{2}^{-{x}_{2}+1}+2）}$，
∵x₁＜x₂，∴-x₂＜-x₁，${2}^{-{x}_{2}}$＜${2}^{-{x}_{1}}$，
∴${2}^{-{x}_{2}}$-${2}^{-{x}_{1}}$＜0，
又$（{2}^{-{x}_{1}+1}+2）（{2}^{-{x}_{2}+1}+2）$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，由不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0化為f（t²-2t）＜-f（2t²-k），即f（t²-2t）＜f（k-2t²），
又∵f（t）為增函數(shù)，t²-2t＜k-2t²，∴3t²-2t＜k．
當(dāng)t=-$\frac{1}{3}$時(shí)，3t²-2t有最小值-$\frac{1}{3}$，∴k$＞-\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．