Question

16．五一節(jié)期間，某商場(chǎng)為吸引顧客消費(fèi)推出一項(xiàng)優(yōu)惠活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)額每滿(mǎn)100元可轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤(pán)一次，并獲得相應(yīng)金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區(qū)域的邊界時(shí)，重新轉(zhuǎn)一次）指針?biāo)�在的區(qū)域及對(duì)應(yīng)的返劵金額見(jiàn)表．
例如：消費(fèi)218元，可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）已知顧客甲消費(fèi)后獲得n次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的機(jī)會(huì)，已知他每轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤(pán)指針落在區(qū)域邊界的概率為p，每次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的結(jié)果相互獨(dú)立，設(shè)ξ為顧客甲轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)指針落在區(qū)域邊界的次數(shù)，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=$\frac{1}{25}$，方差Dξ=$\frac{99}{2500}$，求n、p的值；
（2）顧客乙消費(fèi)280元，并按規(guī)則參與了活動(dòng)，他獲得返券的金額記為η（元）．求隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

指針位置	A區(qū)域	B區(qū)域	C區(qū)域
返券金額（單位：元）	60	30	0

Answer 1

分析 （1）依題意知，ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B（n，p），由此利用二項(xiàng)分布的性質(zhì)能求出n、p的值．
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．則$P（A）=\frac{1}{6}，P（B）=\frac{1}{3}，P（C）=\frac{1}{2}$．由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次．隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）依題意知，ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B（n，p），
∴$Eξ=np=\frac{1}{25}$，（1分）
又$Dξ=np（1-p）=\frac{99}{2500}$，（2分）
聯(lián)立解得：$n=4，p=\frac{1}{100}$．（4分）
（2）設(shè)指針落在A，B，C區(qū)域分別記為事件A，B，C．
則$P（A）=\frac{1}{6}，P（B）=\frac{1}{3}，P（C）=\frac{1}{2}$．
由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)2次．
隨機(jī)變量η的可能值為0，30，60，90，120．（5分）
$P（η=0）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P（η=30）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×2=\frac{1}{3}$，
$P（η=60）=\frac{1}{2}×\frac{1}{6}×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$，
$P（η=120）=\frac{1}{6}×\frac{1}{6}=\frac{1}{36}$，（10分）
∴隨機(jī)變量η的分布列為：

P	0	30	60	90	120
η	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{36}$

其數(shù)學(xué)期望$Eη=0×\frac{1}{4}+30×\frac{1}{3}+60×\frac{5}{18}+90×\frac{1}{9}+120×\frac{1}{36}=40$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．