Question

6．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+2y≥3\\ 2x+y≤3\end{array}\right.$，則z=3^x-y的最小值是$\frac{1}{27}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)t=x-y，再利用幾何意義求最值，將最小值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距最大，只需求出直線t=x-y，過可行域內(nèi)的點(diǎn)A（0，3）時(shí)的最小值，從而得到z最小值即可．

解答 解：設(shè)變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x+2y≥3\\ 2x+y≤3\end{array}\right.$，
在坐標(biāo)系中畫出可行域三角形，如圖示：
，
令t=x-y，將t=x-y整理得到y(tǒng)=x-t，
要求z=3^x-y的最小值即是求直線y=x-t的縱截距的最大值，
當(dāng)平移直線x-y=0經(jīng)過點(diǎn)A（0，3）時(shí)，x-y最小，
且最小值為：-3，
則目標(biāo)函數(shù)t=x-y的最小值為-3，
故z的最小值是$\frac{1}{27}$，
故答案為：$\frac{1}{27}$．

點(diǎn)評 借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．