Question

11．橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，離心率e=$\frac{1}{2}$，P是橢圓上的一點，已知△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑為1，內(nèi)心為I，且S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓的左焦點F₁做兩條互相垂直的弦AB，CD，求|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2．求出a=2，利用離心率求出c，b即可頂點橢圓E的方程．
（2）①設直線AB的方程為：x=my-1（m≠0），直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}y-1$，直線AB與橢圓方程聯(lián)立可得：
（3m²+4）y²-6my-9=0，求出弦長，|AB|，|CD|，化簡和的表達式，利用函數(shù)的最值求解即可．

解答 解：（1）所求橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）
因為△PF₁F₂內(nèi)切圓半徑為1，且S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=2．S${\;}_{△PI{F}_{1}}$+S${\;}_{△PI{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•r+$\frac{1}{2}$|PF₂|•r=$\frac{1}{2}×2a×1$=2，
∴a=2，又∵$e=\frac{1}{2}$，∴c=1，b=$\sqrt{3}$，
橢圓E的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

（2）①設直線AB的方程為：x=my-1（m≠0），直線CD的方程為x=-$\frac{1}{m}y-1$，
直線AB與橢圓方程聯(lián)立可得：
（3m²+4）y²-6my-9=0，
解得弦長|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\frac{\sqrt{36{m}^{2}+36（3{m}^{2}+4）}}{3{m}^{2}+4}$=$\frac{12{m}^{2}+1}{3{m}^{2}+4}$             （6分）
同理可得弦長$|{CD}|=\frac{{12\frac{1}{m^2}+1}}{{3\frac{1}{m^2}+4}}$（7分）
所以|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=$\frac{{12{m^2}+1}}{{3{m^2}+4}}$+$\frac{{12\frac{1}{m^2}+1}}{{3\frac{1}{m^2}+4}}$=$\frac{12}{{3+\frac{1}{{{m^2}+1}}}}+\frac{12}{{4-\frac{1}{{{m^2}+1}}}}$
設$t=\frac{1}{{{m^2}+1}}∈（0，1）$
|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=$\frac{12}{3+t}+\frac{12}{4-t}$=$\frac{84}{-{t}^{2}+t+12}$，
當$t=\frac{1}{2}，即m=±1時，|{AB}|+|{CD}|的最小值為\frac{48}{7}$（10分）
②當m=0時，|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{CD}$|=7..（11分）
綜上：$|{AB}|+|{CD}|的最小值為\frac{48}{7}$．（12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．