Question

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

（2）當時，若函數(shù)有三個不同的零點，求的取值范圍；

（3）設定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱為函數(shù)的“類對稱點”，請你探究當時，函數(shù)是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點” 的橫坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 單調遞增區(qū)間為和;(2) ; (3) 是一個類對稱點的橫坐標.

【解析】試題分析：（1）求導數(shù)f′（x），當a＞2時在函數(shù)定義域內解不等式f′（x）＞0即可．

（2）數(shù)形結合：當a=4時，用導數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的極大值與極小值，畫出草圖，借助圖象即可求得m的取值范圍．（3）當a=4時，函數(shù)y=f（x）在其圖象上一點P（x0，f（x0））處的切線方程為y=h（x）=.由此能推導出y=f（x）存在“類對稱點”， 是一個“類對稱點”的橫坐標．

（1）由可知，函數(shù)的定義域為，

且.

因為，所以.當或時， ；當時， ，

所以的單調遞增區(qū)間為和.

（2）當時， .所以，當變化時， 的變化情況如下：

		1		2
	+	0	-	0	+
	單調遞增	取極大值	單調遞減	取極小值	單調遞增

所以極大值，

極小值.

函數(shù)的圖象大致如下：

所以若函數(shù)有三個不同的零點，

則.

（3）由題意，當時， ，則在點處切線的斜率.

所以 .

令，

則， .

①當時， 在上單調遞減，所以當時， .從而有時， ；

②當時， 在上單調遞減，所以當時， .從而有時， ；

所以在上不存在“類對稱點”.

③當時， ，所以在上是增函數(shù)，故.

所以是一個類對稱點的橫坐標.