Question

在△ABC中，邊a，b，c所對的A，B，C組成一個公差為α的等差數(shù)列，a=2，b=

7

．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）求cosα的值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的性質求出B的度數(shù)，利用余弦定理求出c的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積；
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cos（B-α），把三邊長代入并利用求出cos（60°-α）的值，確定出sin（60°-α）的值，把cosα表示為cos[60°-（60°-α）]，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，邊a，b，c所對的A，B，C組成一個公差為α的等差數(shù)列，
∴三個角為B-α，B，B+α，即B-α+B+B+α=3B=180°，
解得：B=60°，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即7=4+c²-2c，
解得：c=3或c=-1（舍去），
則△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

3 3

2

；
（Ⅱ）∵a=2，b=

7

，c=3，
∴cos（B-α）=cos（60°-α）=

9+7-4

6 7

=

2 7

7

，sin（60°-α）=

21

7

，
則cosα=cos[60°-（60°-α）]=

1

2

cos（60°-α）+

3

2

sin（60°-α）=

7

7

+

3 7

14

=

5 7

14

．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及三角形的面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．