Question

已知函數(shù)f（x）=（

x-1

x+1

）²，（x≥1），f^-1（x）是f（x）的反函數(shù)，記g（x）=

1

f-1(x)

+

x

+2．
（1）求f^-1（x）；
（2）判斷f^-1（x）的單調(diào)性；
（3）求g（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令y=f（x）=（

x-1

x+1

）²，從而解得x=

1+ y

1- y

；（0≤y＜1）；從而寫出反函數(shù)；
（2）分離常數(shù)，由函數(shù)的四則運(yùn)算求函數(shù)的單調(diào)性；
（3）化簡(jiǎn)g（x）=

1

f-1(x)

+

x

+2=

2

1+ x

+

x

+1≥2

2

；利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）y=f（x）=（

x-1

x+1

）²，又∵x≥1；
則

x-1

x+1

=

y

；
故x=

1+ y

1- y

；（0≤y＜1）；
故f^-1（x）=

1+ x

1- x

，（0≤x＜1）；
（2）f^-1（x）=

1+ x

1- x

=-1+

2

1- x

；
∵1-

x

＞0且在[0，1）上是減函數(shù)，
故

2

1- x

在[0，1）上是增函數(shù)；
即f^-1（x）在[0，1）上是增函數(shù)；
（3）g（x）=

1

f-1(x)

+

x

+2
=

2

1+ x

+

x

+1≥2

2

；
（當(dāng)且僅當(dāng)

2

1+ x

=

x

+1，即x=3-2

2

時(shí)，等號(hào)成立）．
故g（x）的最小值為2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的求法及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．