Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函數(shù)g（x）=f（x）+2014x²⁰¹³有最大值M和最小值m，則M+m=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可先研究函數(shù)f（x）的特征，構(gòu)造與f（x）、g（x）相關(guān)的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的圖象對(duì)稱性，得到相應(yīng)的最值關(guān)系，從而得到g（x）的最大值M與最小值m的和，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對(duì)任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，
∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2014，f（0）=-2014，
取y=-x，得到：f（0）=f（x）+f（-x）+2014，
∴f（x）+f（-x）=-4028．
記h（x）=f（x）+2014x²⁰¹³+2014，
則h（-x）+h（x）=[f（-x）+2014（-x）²⁰¹³+2014]+f（x）+2014x²⁰¹³+2014
=f（x）+f（-x）+2014x²⁰¹³-2014x²⁰¹³+4028
=f（x）+f（-x）+4028
=0，
∴y=h（x）為奇函數(shù)．
記h（x）的最大值為A，則最小值為-A．
∴-A≤f（x）+2014x²⁰¹³+2014≤A，
∴-A-2014≤f（x）+2014x²⁰¹³≤A-2014，
∵g（x）=f（x）+2014x²⁰¹³，
∴∴-A-2014≤g（x）≤A-2014，
∵函數(shù)g（x）有最大值M和最小值m，
∴M=A-2014，m=-A-2014，
∴M+m=A-2014+（-A-2014）
=-4028．
故答案為：-4028．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性及其應(yīng)用，還考查了抽象函數(shù)和構(gòu)造法，本題難度適中，屬于中檔題．