在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinB•cosC，試判斷△ABC的形狀．
考點：正弦定理,余弦定理
專題：解三角形
分析：第一個等式變形后，利用余弦定理求出cosA的值，進(jìn)而求出A的度數(shù)，第二個等式化簡，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式變形，得到B=C，即可確定出三角形形狀．
解答： 解：將（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
整理得：（b+c）2-a2=3bc，即a2=b2+c2-bc，
由余弦定理得：cosA=
1
2
，
∵A為三角形內(nèi)角，∴A=
π
3
，
∵sinA=2sinBcosC，且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵B+C=
2π
3
，
∴A=B=C=
π
3
，
則△ABC為等邊三角形．
點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某化工廠近期要生產(chǎn)一批化工試劑，經(jīng)市場調(diào)查得知，生產(chǎn)這批試劑廠家的生產(chǎn)成本有以下三個方面：①生產(chǎn)1單位試劑需要原料費50元；②支付所有職工的工資總額由7500元的基本工資和每生產(chǎn)1單位試劑補貼20元組成；③后續(xù)保養(yǎng)的平均費用是每單位（x+
600
x
-30）元（試劑的總產(chǎn)量為x單位，50≤x≤200）．
（Ⅰ）把生產(chǎn)每單位試劑的成本表示為x的函數(shù)關(guān)系P（x），并求出P（x）的最小值；
（Ⅱ）如果產(chǎn)品全部賣出，據(jù)測算銷售額Q（x）（元）關(guān)于產(chǎn)量x（單位）的函數(shù)關(guān)系為Q（x）=1240x-
1
30
x3，試問：當(dāng)產(chǎn)量為多少時生產(chǎn)這批試劑的利潤最高？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x，y滿足約束條件
3x-y-6≤0
x-y+2≥0
x≥0，y≥0
，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則
3
a
+
2
b
的最小值為（　�。�
A、4B、3C、1D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖是一個幾何體的三視圖，若該幾何體的體積為
3
8
，則主視圖中三角形的高x的值為（　�。�
A、
1
2
B、
3
4
C、1
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a=1，b=
3
，∠A=
π
6
，則∠B等于（　　）
A、
π
3
B、
π
3
或
2π
3
C、
π
6
或
5π
6
D、
2π
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某高級中學(xué)有高一、二、三三個年級的學(xué)生共1600名，其中高三學(xué)生400名，如果通過分層抽樣的方法從全體高中學(xué)生中抽取一個容量為80人的樣本，則應(yīng)從高三年級學(xué)生中抽取的人數(shù)是（　�。�
A、40B、30C、20D、10

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2014成立，若函數(shù)g（x）=f（x）+2014x2013有最大值M和最小值m，則M+m=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和是Sn=n2+
n
2
；
（1）求a1，a2；
（2）求數(shù)列的通項公式an．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
1
x
在[2，+∞）上（　�。�
A、有最大值無最小值
B、有最小值無最大值
C、有最大值和最小值
D、無最大值和最小值

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同步練習(xí)冊答案