10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$(θ為參數(shù),0<r<4),曲線C2:$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線$θ=α(0<α<\frac{π}{2})$與曲線C1交于N點(diǎn),與曲線C2交于O,P兩點(diǎn),且|PN|最大值為2$\sqrt{2}$.
(1)將曲線C1與曲線C2化成極坐標(biāo)方程,并求r的值;
(2)射線θ=α+$\frac{π}{4}$與曲線C1交于Q點(diǎn),與曲線C2交于O,M兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的最大值.

分析 (1)曲線C1:$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$(θ為參數(shù),0<r<4),利用平方關(guān)系可得:普通方程為,利用互化公式可得極坐標(biāo)方程,曲線C2:$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$(θ為參數(shù)),利用平方關(guān)系可得普通方程,利用互化公式可得極坐標(biāo)方程.射線$θ=α(0<α<\frac{π}{2})$與曲線C1交于N點(diǎn),與曲線C2交于O,P兩點(diǎn),且|PN|最大值為2$\sqrt{2}$,可得r=2$\sqrt{2}$.
(2)由題意可得:N(r,α),Q$(r,α+\frac{π}{4})$,P$(4\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4}),α)$,M$(4\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{2}),α+\frac{π}{4})$.S四邊形MPNQ=S△OPM-S△ONQ,利用三角函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出.

解答 解:(1)曲線C1:$\left\{\begin{array}{l}x=rcosθ\\ y=rsinθ\end{array}$(θ為參數(shù),0<r<4),普通方程為x2+y2=r2(0<r<4),極坐標(biāo)方程為C1:ρ=r(0<r<4),
曲線C2:$\left\{\begin{array}{l}x=2+2\sqrt{2}cosθ\\ y=2+2\sqrt{2}sinθ\end{array}$(θ為參數(shù)),普通方程為(x-2)2+(y-2)2=8,極坐標(biāo)方程為C2:ρ=4$\sqrt{2}$sin(θ+$\frac{π}{4}$),
射線$θ=α(0<α<\frac{π}{2})$與曲線C1交于N點(diǎn),與曲線C2交于O,P兩點(diǎn),且|PN|最大值為2$\sqrt{2}$,r=2$\sqrt{2}$.
(2)由題意可得:N(r,α),Q$(r,α+\frac{π}{4})$,P$(4\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4}),α)$,M$(4\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{2}),α+\frac{π}{4})$.
∴S四邊形MPNQ=S△OPM-S△ONQ=$\frac{1}{2}$$4\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{4})$×$4\sqrt{2}sin(α+\frac{π}{2})$×sin$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}{r}^{2}•sin\frac{π}{4}$=$8\sqrt{2}$$sin(α+\frac{π}{4})$cosα-2$\sqrt{2}$
=$4\sqrt{2}sin(2α+\frac{π}{4})$+4-2$\sqrt{2}$≤4+2$\sqrt{2}$.
當(dāng)$sin(2α+\frac{π}{4})$=1時(shí)取等號(hào),
∴四邊形MPNQ面積的最大值是4+2$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)求值、三角形面積計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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20.設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2ln(x+1)+bx(a,b∈R),曲線y=f(x)過(guò)點(diǎn)(e-1,e2-e+1)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=0.
(1)求a,b的值;
(2)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥x2

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年份20122013201420152016
時(shí)間代號(hào)t12345
儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567811
(1)求y關(guān)于t的回歸方程$\widehaty=\widehatb•t+\widehata$;
(2)用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2017年(t=6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款.
附:回歸方程$\widehaty=\widehatb•t+\widehata$中,$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{t_i}{y_i}-n\overline t\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{t_i}^2-n\overline{t^2}}}},\widehata=\overline y-\widehatb\overline t$.

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(2)若不等式f(x)≤g(x)對(duì)x∈[1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)的a取值范圍.

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