Question

19．是否存在實數a，使得函數y=cos²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{5}{2}$在閉區(qū)間[0，π]的最大值是0？若存在，求出對應的a的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 化簡函數f（x），令sinx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函數g（a），再令g（a）=0，求對應a的值是否存在即可．

解答 解：∵y=cos²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{5}{2}$=-sin²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$，
令sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=-t²+at+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$，對稱軸為t=$\frac{1}{2}$a，
①當a≤0時，函數f（t）在[0，1]上是減函數，
∴f（t）的最大值是g（a）=f（0）=$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$=0，解得a=$\frac{12}{5}$，不符合題意，
②當a≥2時，函數f（t）在[0，1]上是增函數，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）=$\frac{13a}{8}$-$\frac{5}{2}$=0，解得a=$\frac{20}{13}$，不符合題意，
③當0＜a＜2時，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（$\frac{1}{2}$a）=f（$\frac{1}{2}$a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$=0，
解得a=-4（舍去），或a=$\frac{3}{2}$．
綜上，存在a=$\frac{3}{2}$時，函數在閉區(qū)間[0，π]上的最大值是0．

點評 本題考查了二次函數的性質與應用問題，也考查了分類討論的數學思想，其中求出最大值函數 g（a）是解題的關鍵，屬于中檔題．