Question

8．已知{a_n}是等比數(shù)列，a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=（　�。�

• A． 16（1-4^-n）
• B． 16（1-2^-n）
• C． $\frac{32}{3}（1-{4^{-n}}）$
• D． $\frac{32}{3}（1-{2^{-n}}）$

Answer 1

分析 先根據(jù)a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，求出公比q，再根據(jù){a_na_n+1}為等比數(shù)列，根據(jù)求和公式得到答案．

解答 解：∵{a_n}是等比數(shù)列，a₂=2，a₅=a₂q³=2•q³=$\frac{1}{4}$，
∴則q=$\frac{1}{2}$，a₁=4，a₁a₂=8，
∵$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}{a}_{n}}$=q²=$\frac{1}{4}$，
∴數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，
∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=$\frac{8[1-（\frac{1}{4}）^{n}]}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-4^-n）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的求和問題．屬基礎(chǔ)題．