Question

18．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）．弧田由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差．按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差．
現(xiàn)有圓心角為$\frac{2π}{3}$，弦長(zhǎng)等于$2\sqrt{3}$米的弧田．
（I）計(jì)算弧田的實(shí)際面積；
（II）按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與（I）中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米？（取π近似值為3，$\sqrt{3}$近似值為1.7）

Answer 1

分析 （I）利用扇形的面積公式，計(jì)算扇形的面積，從而可得弧田的實(shí)際面積；
（II）按照上述弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²），從而可求誤差．

解答 解：（I）∵扇形半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，…（1分）
∴扇形面積=$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×{2}^{2}$=$\frac{4π}{3}$…（3分）
又三角形面積=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$…（4分）
∴弧田面積=$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$（m²）；…（5分）
（II）∵圓心到弦的距離等于1，所以矢長(zhǎng)為1．…（6分）
按照上述弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得
$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}×1+{1}^{2}）$=$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$．…（8分）
∴兩者差為$\frac{4π}{3}-\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}+\frac{1}{2}$）≈0.1平方米
按照弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果比實(shí)際少平方米．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查扇形的面積公式，考查學(xué)生對(duì)題意的理解，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．