Question

【題目】某商場在一部向下運行的手扶電梯終點的正上方豎直懸掛一幅廣告畫．如圖，該電梯的高AB為4米，它所占水平地面的長AC為8米．該廣告畫最高點E到地面的距離為10.5米，最低點D到地面的距離6.5米．假設某人的眼睛到腳底的距離MN為1.5米，他豎直站在此電梯上觀看DE的視角為θ．

（1）設此人到直線EC的距離為x米，試用x表示點M到地面的距離；

（2）此人到直線EC的距離為多少米時，視角θ最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）此人到直線EC的距離為6米時，視角θ最大．

【解析】試題分析：

（1）延長交于，即為所求，只要求得即可，這在中可求；

（2）作于，則，求出這兩個角的正切值，由兩角差的正切公式求出，最后由基本不等式可求得最大值．

試題解析：

（1）作MG⊥CE交于點G，作NH⊥AC交于H，則CH＝GM＝x．

在Rt△BAC中，因為AB＝4，AC＝8，所以tan∠BCA＝，

所以NH＝CH·tan∠BCA＝，

所以MH＝MN＋NH＝．

（2）因為MH＝GC，

所以DG＝DC－GC＝DC－MH＝5－，

EG＝EC－GC＝EC－MH＝9－．

在Rt△DGM中，tan∠DMG＝＝，

在Rt△EGM中，tan∠EMG＝＝，

所以tanθ＝tan∠EMD＝tan(∠EMG－∠DMG)

＝＝

＝

＝（0＜x≤8）．

由x＞0，得5x＞0，＞0，所以5x－28＋≥2－28＝32，

所以tanθ＝≤．

當且僅當5x＝，即x＝6時取“＝”，且6∈(0，8]．

因為y＝tanθ在區(qū)間(0，)上是單調增函數，

所以當x＝6米時，tanθ取最大值，此時視角θ取最大值．

答：此人到直線EC的距離為6米時，視角θ最大．