Question

5．動(dòng)圓M與圓C₁：（x+1）²+y²=$\frac{1}{8}$外切，同時(shí)與圓C₂：x²-2x+y²-$\frac{41}{8}$=0內(nèi)切，不垂直于x軸的直線l交動(dòng)圓圓心M的軌跡C于A，B兩點(diǎn)
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程
（2）若C與x軸正半軸交于A₂，以AB為直徑的圓過點(diǎn)A₂，試問直線l是否過定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，推導(dǎo)出點(diǎn)M的軌跡是以C₁（-1，0），C₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、圓的直徑、向量垂直，結(jié)合題意能求出直線l過定點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0）．

解答 解：（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，圓C₂：${（x-1）^2}+{y^2}=\frac{49}{8}$．（1分）
由題意得|MC₁|=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$+r，|MC₂|=$\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$-r，（2分）
∴$|M{C_1}|+|M{C_2}|=2\sqrt{2}＞|{C_1}{C_2}|=2$．
∴點(diǎn)M的軌跡是以C₁（-1，0），C₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且長半軸為a=$2\sqrt{2}$，半焦距2c=2，從而短半軸為b=$\sqrt{{a^2}-{c^2}}$=1，
于是點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．（4分）
（2）設(shè)直線l方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4mk}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$． （6分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
∴${y_1}•{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$
=${k^2}\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+mk\frac{-4mk}{{1+2{k^2}}}+{m^2}$=$\frac{{{m^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，（7分）
∵點(diǎn)A₂（$\sqrt{2}$，0）在以AB為直徑的圓周上，
∴AA₂⊥BA₂，即$\overrightarrow{A{A_2}}•\overrightarrow{B{A_2}}=0$．（8分）
又$\overrightarrow{A{A}_{2}}$=（$\sqrt{2}-{x}_{1}$，-y₁），$\overrightarrow{B{A}_{2}}$=（$\sqrt{2}-{x}_{2}$，-y₂），
∴（$\sqrt{2}-{x}_{1}$，-y₁）•（$\sqrt{2}-{x}_{2}$，-y₂）=0，
即$（\sqrt{2}-{x_1}）•（\sqrt{2}-{x_2}）+{y_1}•{y_2}=2-\sqrt{2}（{x_1}+{x_2}）+{x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=0$，
代入得 $2+\sqrt{2}•\frac{4mk}{{1+2{k^2}}}+\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$，
化簡(jiǎn)得$2{k^2}+4\sqrt{2}mk+3{m^2}=0$，即$（\sqrt{2}k+m）（\sqrt{2}k+3m）=0$，
∴$\sqrt{2}k+m=0$或$\sqrt{2}k+3m=0$．（9分）
當(dāng)$-\sqrt{2}k=m$時(shí)，$l：y=k（x-\sqrt{2}）$過定點(diǎn)（$\sqrt{2}$，0），此為橢圓右頂點(diǎn)，不滿足；
當(dāng)$-\sqrt{2}k=3m$時(shí)，$l：y=kx-\frac{{\sqrt{2}}}{3}k=k（x-\frac{{\sqrt{2}}}{3}）$，過定點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0）．
∴直線l過定點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{3}$，0）．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線是否過定點(diǎn)的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、圓的直徑、向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．