Question

3．（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM＜AC的概率．
（2）在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段交于點M，求AM＜AC的概率．
（3）在等腰直角三角形ABC內(nèi)任取點P，連接CP的射線交斜邊AB與M，求AM＜AC的概率．

Answer 1

分析 （1）欲求AM＜AC的概率，先求出M點可能在的位置的長度，AC的長度，再讓兩者相除即可．
（2）由于過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，故可以認為所有可能結(jié)果的區(qū)域為∠ACB，可將事件A構(gòu)成的區(qū)域為∠ACC'，以角度為“測度”來計算．
（3）與（2）相同．

解答 解：（1）在等腰直角三角形ABC中，設(shè)AC長為1，則AB長為$\sqrt{2}$，
在AC′上取點D，使AC′=1，則若M點在線段AB上，滿足條件．
∵AC′=1，AB=$\sqrt{2}$
∴AM＜AC的概率為$\frac{AC′}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
（2）在AB上取AC'=AC，則$∠ACC'=\frac{{{{180}°}-45°}}{2}={67.5°}$．
記A={在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點M，AM＜AC}，
則所有可能結(jié)果的區(qū)域為∠ACB，
事件A構(gòu)成的區(qū)域為∠ACC'．
又∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．
∴$P（A）=\frac{{{{67.5}°}}}{{{{90}°}}}=\frac{3}{4}$．
（3）在AB上取AC'=AC，則$∠ACC'=\frac{{{{180}°}-45°}}{2}={67.5°}$．
記A={在∠ACB內(nèi)部任作一射線CM，與線段AB交于點M，AM＜AC}，
則所有可能結(jié)果的區(qū)域為∠ACB，
事件A構(gòu)成的區(qū)域為∠ACC'．
又∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．
∴$P（A）=\frac{{{{67.5}°}}}{{{{90}°}}}=\frac{3}{4}$．

點評 本題考查幾何概型．在利用幾何概型的概率公式來求其概率時，幾何“測度”可以是長度、面積、體積、角度等，其中對于幾何度量為長度，面積、體積時的等可能性主要體現(xiàn)在點落在區(qū)域Ω上任置都是等可能的．