Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a3+…+3^n-1a_n=n
（1）求a_n
（2）設(shè)b_n=2a_n求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，可得當(dāng)n≥2時，3^n-1a_n=n-（n-1）=1，即可得出a_n．
（2）b_n=2a_n=

2

3n-1

，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=n，
∴當(dāng)n≥2時，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=n-1，
∴兩式作差得3^n-1a_n=n-（n-1）=1，
∴an=

1

3n-1

，
當(dāng)n=1時，a₁=1也成立．
∴a_n=

1

3n-1

．
（2）b_n=2a_n=

2

3n-1

，
∴S_n=2+

2

3

+

2

32

+…+

2

3n-1

=2×

1- 1 3n

1- 1 3

=3-

1

3n-1

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．