Question

5．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，且A（a，0）、B（0，b）滿足條件|AB|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求橢圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點(diǎn)P（-2，1）的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為線段MN的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A，B的坐標(biāo)求得|AB|²=a²+b²，結(jié)合$|{AB}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•2c=\sqrt{2}c$，可得2c²=a²+b²，再結(jié)合隱含條件求得離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，寫出直線AB的方程，由O到直線AB的距離為$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，得$\frac{ab}{{\sqrt{{b^2}+{a^2}}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，聯(lián)立b=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，求得a，b的值得答案；
（Ⅲ）設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），把M，N的坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得|AB|²=a²+b²，而$|{AB}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•2c=\sqrt{2}c$，…（2 分）
則有2c²=a²+b²=a²+（a²-c²），即2a²=3c²，故$c=\frac{{\sqrt{6}}}{3}a$，…（3 分）
∴離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；…（4 分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{{a^2}-\frac{2}{3}{a^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，…（5 分）
直線AB的截距式方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}=1$，即bx+ay-ab=0，…（6 分）
依題意，得$\frac{ab}{{\sqrt{{b^2}+{a^2}}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，…（7 分）
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{ab}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}\\{b=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3\sqrt{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴橢圓C的方程的方程為$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{9}=1$；…（10分）
（Ⅲ）設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
依題意，可知x₁≠x₂，且$\frac{x_1^2}{27}+\frac{y_1^2}{9}=1$，$\frac{x_2^2}{27}+\frac{y_2^2}{9}=1$，…（11分）
兩式相減，得$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}）}}{27}+\frac{{（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）}}{9}=0$．…（12分）
∵P（-2，1）是線段MN的中點(diǎn)，
∴x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
則有$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2}{3}$，即直線l的斜率為$\frac{2}{3}$，且直線l過點(diǎn)P（-2，1），…（13分）
故直線l的方程為$y-1=\frac{2}{3}（x+2）$，即2x-3y+7=0．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求解中點(diǎn)弦問題，屬中檔題．