Question

9．一個(gè)球內(nèi)切于一個(gè)圓錐，且圓錐的高等于球的直徑的兩倍，試證明圓錐的全面積等于球表面積的兩倍．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為r，圓錐底面的半徑為R，畫(huà)出圓錐的軸截面，結(jié)合勾股定理，分析R，r之間的關(guān)系，進(jìn)而可得答案．

解答 證明：設(shè)球的半徑為r，圓錐底面的半徑為R，
畫(huà)出圓錐的軸截面如下圖所示：

則BC=CD=R，OD=OB=OE=r，AB=4r，故OA=3r，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{（3r）^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
在Rt△ABC中，AC²=AB²+BC²，
即（2$\sqrt{2}$r+R）²=R²+16r²，
即R=$\sqrt{2}$r，
故圓錐的全面積為πR（2R+2$\sqrt{2}$r）=8πr²，
球面積為：4πr²，
即圓錐的全面積等于球表面積的兩倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握?qǐng)A錐和球的幾何特征，是解答的關(guān)鍵．