Question

17．求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率．
（1）焦點(diǎn)在x軸上，c=6，且過點(diǎn)A（-5，2）；
（2）a=12，b=5；
（3）經(jīng)過兩點(diǎn)A（-7，-6$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{7}$，-3）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，由此能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率．
（2）分類討論，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率；
（3）利用待定系數(shù)法，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a＞0，b＞0，
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=20，b²=16，
∴所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
（2）焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{144}-\frac{{y}^{2}}{25}=1$，e=$\frac{13}{12}$；
焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{144}-\frac{{x}^{2}}{25}=1$，e=$\frac{13}{12}$；
（3）設(shè)雙曲線的方程為nx²-my²=1，m＞0，n＞0，
把兩點(diǎn)A（-7，-6$\sqrt{2}$），B（$\sqrt{7}$，-3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{49n-72m=1}\\{7n-9m=1}\end{array}\right.$，
解得n=1，m=$\frac{2}{3}$，
∴所求的雙曲線方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{2}}$=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)、待定系數(shù)法的合理運(yùn)用．