Question

【題目】(2015·浙江卷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝且an＋1＝an－ (n∈N*).

(1)證明：1≤≤2(n∈N*)；

(2)設(shè)數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和為Sn，證明： (n∈N*).

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件確定數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，得到，再由數(shù)列遞推可得到，從而得到的取值范圍。

（Ⅱ）根據(jù)已知條件確定關(guān)于的表達(dá)式，再由（Ⅰ）中的結(jié)論得到的取值范圍，即可確定的范圍。

試題解析： (1)由題意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，

故an≤.由an＝(1－an－1)an－1得

an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0.

由0<an≤得＝＝∈(1，2]，

即1≤≤2成立.

(2)由題意得

a＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1.①

由－＝和1≤≤2得1≤－≤2，

所以n≤－≤2n，

因此≤an＋1≤ (n∈N*).②

由①②得≤≤ (n∈N*).