Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=3ⁿ-1．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)S_n=3ⁿ-1，直接代入計(jì)算即可；
（2）通過(guò)S_n=3ⁿ-1與S_n-1=3^n-1-1作差，整理即得結(jié)論；
（3）通過(guò)（2）可知na_n=2n•3^n-1，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵S_n=3ⁿ-1，
∴a₁=3-1=2，
a₂=S₂-S₁=8-2=6，
a₃=S₃-S₂=26-8=18；
（2）∵S_n=3ⁿ-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=3^n-1-1，
兩式相減得：a_n=2•3^n-1，
又∵a₁=2滿足上式，
∴a_n=2•3^n-1；
（3）由（2）可知na_n=2n•3^n-1，
∴T_n=2•3⁰+4•3+6•3²+…+2n•3^n-1，
3T_n=2•3+4•3²+…+2（n-1）•3^n-1+2n•3ⁿ，
兩式相減得：-2T_n=2+2•3+2•3²+…+2•3^n-1-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ-（1+3+3²+…+3^n-1）
=n•3ⁿ-$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．