Question

19．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N⁺，恒有S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，并給予證明．

Answer 1

分析 （1）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N⁺，恒有S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．分別取n=1，2即可得出．
（2）猜想：a_n=n．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 解：（1）∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意的n∈N⁺，恒有S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³．
∴當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}$=${a}_{1}^{3}$，解得a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，$（1+{a}_{2}）^{2}$=1+${a}_{2}^{3}$，化為：${a}_{2}^{2}$-a₂-2=0，解得a₂=2．
（2）猜想：a_n=n．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)，a_k=k．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，${S}_{k+1}^{2}$-${S}_{k}^{2}$=${a}_{k+1}^{3}$，
∴S_k+1+S_k=${a}_{k+1}^{2}$，
∴${a}_{k+1}^{2}$-a_k+1-2S_k=0，
即${a}_{k+1}^{2}$-a_k+1-2×$\frac{k（k+1）}{2}$=0，
解得a_k+1=k+1．
因此當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
綜上可得：?n∈N^*a_n=n成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．