Question

11．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，且a=4．
（1）若sin²A-sinBsinC=0，sinA＞cosA，求sinA的取值范圍；
（2）若a=2bcosC，（2b-c）cosA-acosC=0，求三角形的面積．

Answer 1

分析 （1）由sin²A-sinBsinC=0，利用正弦定理可得：a²=bc．再利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得：cosA≥$\frac{1}{2}$，又A∈（0，π），可得A的范圍．sinA＞cosA，又A∈（0，π），可得A的范圍，即可得出．
（2）由a=2bcosC，利用余弦定理可得b=c．由（2b-c）cosA-acosC=0，利用正弦定理與和差化積、可得2cosA=1，A∈（0，π），可得A．即可得出．

解答 解：（1）∵sin²A-sinBsinC=0，∴a²=bc．
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2bc-bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，
又A∈（0，π），∴A∈$（0，\frac{π}{3}）$．
∵sinA＞cosA，又A∈（0，π），
∴A∈$（\frac{π}{4}，π）$．
∴A∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{3}）$．
∴sinA∈$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
（2）∵a=2bcosC，
∴4=2b•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化為：4×4=4²+b²-c²，
解得b=c．
∵（2b-c）cosA-acosC=0，
∴2sinBcosA-sinCcosA-sinAcosC=0，
∴2sinBcosA-sin（C+A）=0，
∴2sinBcosA-sinB=0，sinB≠0，
化為2cosA=1，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC是等邊三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}$=4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理、余弦定理、和差化積、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．