Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中點，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=$\sqrt{5}$．
（Ⅰ）求證：CF∥平面PAB；
（Ⅱ）求證：PE⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中點M，連接MF，MB，推導出四邊形BCFM是平行四邊形，從而FC∥BM，由此能證明FC∥面ABP．
（Ⅱ）連接CE，推導出PE⊥AB，PE⊥EC，由此能證明PE⊥面ABCD．
（Ⅲ）取CD中點N，以EB，EN，EP分別為軸x，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PA-C余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AP的中點M，連接MF，MB，
因為M是AP中點，F(xiàn)是PD中點，
所以$MF∥AD，MF=\frac{1}{2}AD$，
又因為$BC∥AD，BC=\frac{1}{2}AD$，
所以四邊形BCFM是平行四邊形，所以FC∥BM，
又FC?面ABP，BM?面ABP
所以FC∥面ABP…（5分）
（Ⅱ）連接CE，
因為在△ABP中，AB=AP=BP，點E是邊AB在的中點，
所以PE⊥AB且$PE=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$，
在Rt△BEC中，BE=EC=1，EB⊥BC，所以$EC=\sqrt{2}$
在△PEC中，$PE=\sqrt{3}$，$EC=\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{5}$，
所以PE⊥EC
又因為AB∩EC=E，AB?面ABCD，EC?面ABCD
所以PE⊥面ABCD…（9分）
解：（Ⅲ）取CD中點N，以EB，EN，EP分別為軸x，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
各點坐標為：B（1，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），$P（0，0，\sqrt{3}）$，A（-1，0，0），
因為：BC⊥PE，AB⊥BC，所以BC⊥面ABP，
面ABP的法向量為$\overrightarrow{BC}=（0，1，0）$
設面ABC的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$$\overrightarrow{AP}=（1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}=（2，1，0）$，
$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n_2}=0\\ \overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n_2}=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\\ 2{x_0}+{y_0}=0\end{array}\right.$，取x₀=1，得$\overrightarrow{n_2}=（1，-2，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
由圖可知二面角為銳二面角，設銳二面角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
二面角B-PA-C余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（14分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．