Question

5．已知點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（0，3）在直線3x-4y+5=0的同側(cè)，給出下列四個命題：
①若a＞1，則b＞2；
②$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞1；
③函數(shù)f（x）=sinx-3a+4b-4有無數(shù)個零點(diǎn)；
④當(dāng)b＜0時，$\frac{b-1}{a}$的取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$）．
其中所有正確命題的序號是①②④．

Answer 1

分析 點(diǎn)A（a，b）和點(diǎn)B（0，3）在直線1：3x-4y+5=0的同側(cè)，則（3a-4b+5）×（3×0-4×3+5）＞0，即3a-4b+5＜0，作出點(diǎn)A（a，b） 對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可

解答 解：點(diǎn)A（a，b）和點(diǎn)B（0，3）在直線1：3x-4y+5=0的同側(cè)，
則（3a-4b+5）×（3×0-4×3+5）＞0，即3a-4b+5＜0，點(diǎn)A（a，b）的區(qū)域如圖所示．
對于①，若a＞1，由3a-4b+5＜0；可得b＞2，故正確；
對于②，∵原點(diǎn)到直線3a-4b+5=0的距離等于1，∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$＞1，故正確；
對于③，函數(shù)f（x）=sinx-3a+4b-4零點(diǎn)，就是y=sinx與y=3a-4b+4的交點(diǎn)，∵y=3a-4b+4＞-1，故錯；
對于④，當(dāng)b＜0時，$\frac{b-1}{a}$表示過點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)（0，1）的斜率，根據(jù)圖象可得其取值范圍是（0，$\frac{3}{4}$），故正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二元一次不等式與平面區(qū)域，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．