Question

9．半徑為1的圓O內(nèi)切于正方形ABCD，正六邊形EFGHPR內(nèi)接于圓O，當(dāng)EFGHPR繞圓心O旋轉(zhuǎn)時，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范圍是（　�。�

• A． [1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]
• B． [-1$-\sqrt{2}$，-1+$\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$$+\sqrt{2}$]
• D． [$-\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$-\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 法一、以O(shè)為圓心，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得A（-1，-1），設(shè)OE與Ox的反向延長線成θ角，即有E（-cosθ，-sinθ），F(xiàn)（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），0≤θ＜2π，運(yùn)用向量的坐標(biāo)和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．
法二、運(yùn)用向量的加法和數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解法一：以O(shè)為圓心，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
可得A（-1，-1），
設(shè)OE與Ox的反向延長線成θ角，
即有E（-cosθ，-sinθ），F(xiàn)（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$）），
0≤θ＜2π，
則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（1-cosθ，1-sinθ）•（-cos（θ+$\frac{π}{3}$），-sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cosθcos（θ+$\frac{π}{3}$）+sinθsin（θ+$\frac{π}{3}$）-（cos（θ+$\frac{π}{3}$）+sin（θ+$\frac{π}{3}$））
=cos$\frac{π}{3}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{7π}{12}$），
當(dāng)sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=1，即θ=$\frac{23π}{12}$時，取得最小值$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$；
當(dāng)sin（θ+$\frac{7π}{12}$）=-1，即θ=$\frac{11π}{12}$時，取得最大值$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．
即有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
法二、$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$=（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OE}$）•$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$，
而$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{OF}$=|$\overrightarrow{AO}$|•|$\overrightarrow{OF}$|cosθ=$\sqrt{2}$cosθ，
則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{OF}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$-$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的范圍，考查坐標(biāo)法的運(yùn)用，同時考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．