Question

15．已知f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求該函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得解析式f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），利用周期公式即可得解；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin（x+$\frac{θ}{2}$）cos（x+$\frac{θ}{2}$）+2$\sqrt{3}$cos²（x+$\frac{θ}{2}$）-$\sqrt{3}$
=sin（2x+θ）+2$\sqrt{3}$×$\frac{1+cos（2x+θ）}{2}$-$\sqrt{3}$
=sin（2x+θ）+$\sqrt{3}$cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$），
∴當(dāng)sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，f（x）_max=2，
當(dāng)sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）=-1時(shí)，f（x）_min=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的最值，著重考查周期公式的應(yīng)用及正弦函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．