Question

12．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，P、Q分別為邊AB、DA上的點(diǎn)，當(dāng)△APQ的周長(zhǎng)為2時(shí)，求∠PCQ的大�。�

Answer 1

分析 設(shè)AQ=x，AP=y，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得tan∠DCQ=$\frac{DQ}{DC}$=1-x，tan∠BCP=1-y，再兩角和的正切公式求得tan（∠DCQ+∠BCP）=1，可得∠DCQ+∠BCP=45°，從而求得∠PCQ=45°．

解答 解：設(shè)AQ=x，AP=y，則DQ=1-x，PB=1-y，（0＜x＜1，0＜y＜1），
則tan∠DCQ=$\frac{DQ}{DC}$=1-x，tan∠BCP=1-y，tan（∠DCQ+∠BCP）=$\frac{（1-x）+（1-y）}{1-（1-x）（1-y）}$=$\frac{2-（x-y）}{x+y-xy}$  ①．
在Rt△APQ中，PQ²=AQ²+AP²=x²+y²，又PQ=2-（x+y），∴（2-x-y）²=x²+y²，即 xy=2（x+y）-2  ②．
把②代入①可得tan（∠DCQ+∠BCP）=1，∴∠DCQ+∠BCP=45°，∴∠PCQ=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．