Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N^*），且a₁=$\frac{1}{1006}$．
（I）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)a_n．
（2）若b_n=$\frac{2-2010{a}_{n}}{{a}_{n}}$，c_n=b_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，（n∈N^*），且T_n=c₁+c₂+…+c_n，求證：1≤T_n＜3．

Answer 1

分析 （I）由已知，轉(zhuǎn)化構(gòu)造得出$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，求得$\frac{1}{{a}_{1}}$=1006，故數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}以1006為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求得a_n；
（2）將a_n代入b_n，得b_n=n+1，即可求得c_n，根據(jù)T_n=c₁+c₂+…+c_n，采用錯位相減法，即可求得T_n，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得的T_n取值范圍．

解答 解：（I）證明：將$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=a_n+1（n∈N^*），兩邊取倒數(shù)，移項(xiàng)整理$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{{a}_{1}}$=1006，
故數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}以1006為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，
$\frac{1}{{a}_{n}}$=1006+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+2011}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，a_n=$\frac{2}{n+2011}$，
（2）將a_n代入b_n，得b_n=$\frac{2-2010×\frac{2}{n+2011}}{\frac{2}{n+2011}}$=n+1，
∴c_n=b_n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=c₁+c₂+…+c_n，
=2×$\frac{1}{2}$+3×（$\frac{1}{2}$）²+4×（$\frac{1}{2}$）³+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+4×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=1+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=1+$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$＜3，
由函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)n=1時，取最小值，T₁=1
∴1≤T_n＜3．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的定義，判斷、通項(xiàng)公式求解，錯位相消法求和，考查 通過對遞推式變形，構(gòu)造出特殊的數(shù)列來解決問題的能力，計算能力，以及分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．