Question

17．已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的遞推公式依次求出a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）根據(jù)a₂，a₃，a₄值的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法①驗(yàn)證n=1成立，②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立

解答 解：（Ⅰ）由題意a₁=1，a₂+a₁=$\sqrt{2}$，a₃+a₂=$\sqrt{3}$-1，a₄+a₃=2-$\sqrt{2}$
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，a₄=2-$\sqrt{3}$
（Ⅱ）猜想：對(duì)任意的n∈N*，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$，
①當(dāng)n=1時(shí)，由a₁=1=$\sqrt{1}$-$\sqrt{1-1}$，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k （k∈N^*）時(shí)，猜想成立，即
a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$                
則由a_k+1+a_k=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k-1}$，得a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立，
由①、②可知，對(duì)任意的n∈N*，猜想成立，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式，屬于中檔題．