Question

8．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A（0，b）和C（0，-b），兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），過(guò)點(diǎn)E（3c，0）的直線AE與橢圓相交于另一點(diǎn)B，且F₁A∥F₂B．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線F₂B上有一點(diǎn)H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圓上，求$\frac{n}{m}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得|EF₂|=|F₁F₂|，且F₁A∥F₂B，得B是A和E的中點(diǎn)，不妨設(shè)A（0，b），由E（3c，0），求得B的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求得橢圓的離心率；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a²=3c²，b²=a²-c²=2c²，設(shè)橢圓方程為2x²+3y²=6c²．得A（0，$\sqrt{2}c$），C（0，-$\sqrt{2}c$），寫(xiě)出線段AF₁ 的垂直平分線l的方程，得到△AF₁C外接圓的圓心．求得外接圓的方程為$（x-\frac{c}{2}）^{2}+{y}^{2}=（\frac{c}{2}+c）^{2}$．再求出直線F₂B的方程為y=$\sqrt{2}$（x-c），于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組：
$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{2}（m-c）}\\{（m-\frac{c}{2}）^{2}+{n}^{2}=\frac{9{c}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，由此可得$\frac{n}{m}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵|EF₂|=3c-c=2c=|F₁F₂|，且F₁A∥F₂B，
∴B是A和E的中點(diǎn)，
不妨設(shè)A（0，b），由E（3c，0），
∴B（$\frac{3c}{2}，\frac{2}$），代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$得：$\frac{\frac{9}{4}{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}^{2}}{^{2}}=1$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${e}^{2}=（\frac{c}{a}）^{2}=\frac{1}{3}$，得a²=3c²，b²=a²-c²=2c²，
∴橢圓的方程可設(shè)為2x²+3y²=6c²．
若A（0，$\sqrt{2}c$），則C（0，-$\sqrt{2}c$），
線段AF₁ 的垂直平分線l的方程為y-$\frac{\sqrt{2}}{2}c=-\frac{\sqrt{2}}{2}（x+\frac{c}{2}）$，
直線l與x軸的交點(diǎn)（$\frac{c}{2}，0$）是△AF₁C外接圓的圓心．
因此，外接圓的方程為$（x-\frac{c}{2}）^{2}+{y}^{2}=（\frac{c}{2}+c）^{2}$．
直線F₂B的方程為y=$\sqrt{2}$（x-c），于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組：
$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{2}（m-c）}\\{（m-\frac{c}{2}）^{2}+{n}^{2}=\frac{9{c}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，由m≠0，解得$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{2\sqrt{2}}{3}c}\\{m=\frac{5}{3}c}\end{array}\right.$．
故$\frac{n}{m}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．