如圖,已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直,且,

,,,點(diǎn)、、分別為、的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)求證:;

(3)求二面角的余弦值.

 

 

(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3).

【解析】

試題分析:(1)連接,利用中位線得到,然后再利用直線與平面平行的判定定理證明平面;(2)證法一是建立以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法證明;證法二:先證明,于是得到,于是得到,再證明平面,從而得到,最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面,從而得到;證法三是,得到,于是得到,再證明平面,從而得到,最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面,從而得到;(3)解法一是建立以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量法求二面角的余弦值;解法二是過(guò)于點(diǎn),過(guò),連接,先利用平面,于是說(shuō)明為二面角的平面角,然后在直角,然后在直角中求的值.

(1)證明:連接,的中點(diǎn) ,過(guò)點(diǎn),

的中點(diǎn),,

,平面;

(2)證法一:在直角中,,,

棱柱的側(cè)棱與底面垂直,且,以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系如圖示,則

,,,,,

,

,

證法二:連接,在直角中,,,

,,

,,

,

,,且,

平面,又,故平面,

平面,

證法三:連接,在直角中,,,,

設(shè),,

,即,

,且,平面,

,又,故平面,

平面,

(3)解法一:棱柱的側(cè)棱與底面垂直,且,

以點(diǎn)為原點(diǎn),以所在的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

依題意得,,,,,,,

設(shè)面的一個(gè)法向量為,

,得,令,得,

同理可得面的一個(gè)法向量為,

故二面角的平面角的余弦值為,

解法二:過(guò)于點(diǎn),過(guò),連接,

平面底面平面,

平面,,

為二面角的平面角,

中,,,

,

,故,.

考點(diǎn):1.直線與平面平行;2.直線與直線垂直;3.二面角的求解;4.空間向量法;5.三垂線法

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省湛江市高三高考模擬測(cè)試二文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知向量,,且,則等于( )

A. B.

C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省梅州市高三3月總復(fù)習(xí)質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( )

A. B. C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省梅州市高三3月總復(fù)習(xí)質(zhì)檢文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的亮點(diǎn)P,Q滿足條件: P,Q都在函數(shù)y=f(x)的圖像上, P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱點(diǎn)對(duì)[P,Q]是函數(shù)y=f(x)的一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”(點(diǎn)對(duì)[P,Q]與[Q,P]看作同一對(duì)“友好點(diǎn)對(duì)”)。

已知函數(shù),則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”有( )

A.0對(duì) B.1對(duì) C.2對(duì) D.3對(duì)

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省梅州市高三3月總復(fù)習(xí)質(zhì)檢文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

如果復(fù)數(shù)()的實(shí)部和虛部互為相反數(shù),那么b等于( )

A. B. C. D.2

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三4月第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

在極坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)引圓的一條切線,則

切線長(zhǎng)為 .

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三4月第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

,則( )

A. B.

C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三4月第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

,則 .

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市高三3月第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

根據(jù)某固定測(cè)速點(diǎn)測(cè)得的某時(shí)段內(nèi)過(guò)往的輛機(jī)動(dòng)車的行駛速度(單位:)繪制的頻率分布直方圖如圖所示.該路段限速標(biāo)志牌提示機(jī)動(dòng)車輛正常行駛速度為,則該時(shí)段內(nèi)過(guò)往的這輛機(jī)動(dòng)車中屬非正常行駛的有輛,圖中的值為.

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案