Question

【題目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

（1）求證：A1C∥平面AB1D；
（2）設(shè)M為棱CC1的點(diǎn)，且滿足BM⊥B1D，求證：平面AB1D⊥平面ABM．

Answer 1

【答案】
（1）證明：記A1B∩AB1=O，連接OD．

∵四邊形AA1B1B為矩形，∴O是A1B的中點(diǎn)，

又∵D是BC的中點(diǎn)，∴A1C∥OD．

又∵A1C平面AB1D，OD平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D．

（2）證明：∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC．

∵平面ABC⊥平面BB1C1C，

平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD平面ABC，

∴AD⊥平面BB1C1C．

或利用CC1⊥平面ABC證明AD⊥平面BB1C1C．

∵BM平面BB1C1C，∴AD⊥BM．

又∵BM⊥B1D，AD∩B1D=D，AD，B1D平面AB1D，

∴BM⊥平面AB1D．

又∵BM平面ABM，

∴平面AB1D⊥平面ABM

【解析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明A1C∥平面AB1D；（2）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行，以及對(duì)平面與平面垂直的判定的理解，了解一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．