Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax²-1-lnx，其中a∈R
（1）探討f（x）的單調(diào)性
（2）若f（x）≥x對x∈（1，+∞）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時，當(dāng)a＞0時，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）由題意可得ax²≥1+x+lnx，當(dāng)x＞1時，a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得g（x）的最大值，可得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax²-1-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，f′（x）=0可得x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$時，f′（x）＜0；當(dāng)x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$時，f′（x）＞0．
可得f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）為減函數(shù)，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）為增函數(shù)，
綜上可得，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）為減函數(shù)，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）為增函數(shù)；
（2）f（x）≥x對x∈（1，+∞）成立，
可得ax²≥1+x+lnx，
當(dāng)x＞1時，a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{3}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$=$\frac{-1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
當(dāng)x≥1時，-1-x-2lnx＜0，即g′（x）＜0，
g（x）在[1，+∞）遞減，
可得a≥g（1）=2，
則a的取值范圍是[2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．