精英家教網(wǎng)過點M(-1,0)的直線L1與拋物線y2=4x交于P1、P2兩點記:線段P1P2的中點為P;過點P和這個拋物線的焦點F的直線為L2;L1的斜率為k試把直線L2的斜率與直線L1的斜率之比表示為k的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間,同時說明在每一單調(diào)區(qū)間上它是增函數(shù)還是減函數(shù).
分析:先設(shè)直線L1的方程是y=k(x+1),然后與拋物線方程聯(lián)立消去y,得到兩根之和、兩根之積,將直線L1與該拋物線有兩個交點轉(zhuǎn)化為△=(2k2-4)2-4k2•k2>0且k≠0,進而可得到k的范圍,設(shè)點P的坐標為(
.
x
,
.
y
)
,可以得到直線L1、直線L2的斜率,記f(k)=
k2
k1
,則可以得到f(k)=
.
x
+1
.
x
-1
,再由
.
x
=
x1+x2
2
=
2-k2
k2
,可以得到f(k)=
1
1-k2
,再分析單調(diào)性即可.
解答:解:由已知條件可知,直線L1的方程是y=k(x+1)①
把①代入拋物線方程y2=4x,
整理后得到k2x2+(2k2-4)x+k2=0②
因此,直線L1與該拋物線有兩個交點的充要條件是:(2k2-4)2-4k2•k2>0③
及k≠0.④
解出③與④得到k∈(-1,0)∪(0,1)
現(xiàn)設(shè)點P的坐標為(
.
x
,
.
y
)

則直線L1的斜率k=
.
y
.
x
+1
,而直線L2的斜率k2=
.
y
.
x
-1
,
f(k)=
k2
k1
,則f(k)=
.
x
+1
.
x
-1

今記L1與拋物線的兩個交點P1與P2的橫坐標分別為x1和x2,
由韋達定理及②得x1+x2=
4-2k2
k2
,(k∈(-1,0)∪(0,1))

因此
.
x
=
x1+x2
2
=
2-k2
k2
,由此得到f(k)=
1
1-k2
,
定義域是(-1,0)∪(0,1)
顯然,1-k2在(-1,0)內(nèi)遞增,在(0,1)內(nèi)遞減
所以,f(k)=
1
1-k2
在(0,1)內(nèi)為增函數(shù),在(-1,0)內(nèi)為減函數(shù)
點評:本題主要考查直線與拋物線的綜合問題.直線與圓錐曲線的綜合題是高考的一個重要考點,要著重復(fù)習.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若橢圓C1
x2
4
+
y2
b2
=1(0<b<2)
的離心率等于
3
2
,拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點在橢圓C1的頂點上.
(1)求拋物線C2的方程;
(2)求過點M(-1,0)的直線l與拋物線C2交E、F兩點,又過E、F作拋物線C2的切線l1、l2,當l1⊥l2時,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都等于1,
(1)求曲線C的方程;
(2)若過點M(-1,0)的直線與曲線C有兩個交點A,B,且FA⊥FB,求直線l的斜率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)過點M(-1,0)的直線與橢圓x2+3y2=a2(a>0)相交于A,B兩個不同的點,且
AM
=2
MB
.記O為坐標原點.求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)橢圓E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
2
2
,已知A(a,0),B(0,-b),且原點O到直線AB的距離為
2
3
3

(Ⅰ)  求橢圓E的方程;
(Ⅱ)已知過點M(1,0)的直線交橢圓E于C,D兩點,若存在動點N,使得直線NC,NM,ND的斜率依次成等差數(shù)列,試確定點N的軌跡方程.

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