Question

若橢圓C₁：

x2

4

+

y2

b2

=1(0＜b＜2)的離心率等于

3

2

，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點在橢圓C₁的頂點上．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）求過點M（-1，0）的直線l與拋物線C₂交E、F兩點，又過E、F作拋物線C₂的切線l₁、l₂，當(dāng)l₁⊥l₂時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)長半軸是2求出a的值，再表示出半焦距c，根據(jù)離心率的值求出b的值，從而可得到拋物線的焦點坐標(biāo)，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）先根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程和點E、F的坐標(biāo)，然后對拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)運算，進(jìn)而得到切線l₁，l₂的斜率，根據(jù)l₁⊥l₂可得到x₁•x₂的值，再聯(lián)立直線l與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而可表示出兩根之積，再結(jié)合x₁•x₂的值可確定k的值，最后將k的值代入到直線方程即可得到答案．

解答：解：（1）已知橢圓的長半軸為2，半焦距c=

4-b2

由離心率等于e=

c

a

=

4-b2

2

=

3

2

∴b²=1∴橢圓的上頂點（0，1）∴拋物線的焦點為（0，1）
∴拋物線的方程為x²=4y
（2）由已知，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴切線l₁，l₂的斜率分別為

1

2

x1，

1

2

x2
當(dāng)l₁⊥l₂時，

1

2

x1•

1

2

x2=-1，即x₁•x₂=-4
由

y=k(x+1) x2=4y

得：x²-4kx-4k=0
∴△=（4k）²-4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0①
∴x₁•x₂=-4k=-4，即：k=1
此時k=1滿足①
∴直線l的方程為x-y+1=0

點評：本題主要考查橢圓、拋物線的基本性質(zhì)和直線與拋物線的綜合問題．考查對基礎(chǔ)知識的綜合運用．