Question

2014年秋，某校決定派遣語、數(shù)、外、物、化、生六科的骨干教師各一人去甲乙兩所學(xué)校支教，每校至少一人，且物理教師和化學(xué)教師必須分在同一所學(xué)校．
（Ⅰ）求語文教師和數(shù)學(xué)教師分在不同學(xué)校的概率；
（Ⅱ）用X、Y分別表示這6個人中去甲、乙兩校支教的人數(shù)，記ξ=|X-Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）利用捆綁法分類求出把6名教師分到兩所學(xué)校的所有不同分法，然后把除了語文和數(shù)學(xué)教師外的4名教師分給語文和數(shù)學(xué)教師（4人可分給同一名教師），再排列到兩所學(xué)校，求出語文教師和數(shù)學(xué)教師分在不同學(xué)校的方法種數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式求得語文教師和數(shù)學(xué)教師分在不同學(xué)校的概率；
（Ⅱ）根據(jù)X、Y的不同取值情況求出ξ=|X-Y|的值，再由古典概型概率計(jì)算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．

解答： 解：把物理教師和化學(xué)教師捆綁，看作1人，問題是把5人分到兩所不同的學(xué)校，每校至少1人，
共有不同的分法種數(shù)為：

C

1 5

•

C

4 4

+

C

2 5

•

C

3 3

+

C

3 5

•

C

2 2

+

C

4 5

•

C

1 1

=30．
（Ⅰ）語文教師和數(shù)學(xué)教師分在不同學(xué)校，所有不同的分法種數(shù)為：（

C

0 3

+

C

1 3

+

C

2 3

+

C

3 3

）•

A

2 2

=16．
則語文教師和數(shù)學(xué)教師分在不同學(xué)校的概率為P=

16

30

=

8

15

；
（Ⅱ）X、Y的取值分別為：
X：1    2    3    4    5
Y：5    4    3    2    1．
ξ=|X-Y|=0或2或4．
當(dāng)P（ξ=0）=

C 1 4 • A 2 2

30

=

4

15

．
當(dāng)P（ξ=2）=2×

1+ C 2 4

30

=

7

15

．
當(dāng)P（ξ=4）=

C 1 4 • A 2 2

30

=

4

15

．
隨機(jī)變量ξ的分布列如圖：

ξ	0	2	4
P	4 15	7 15	4 15

∴E（ξ）=0×

4

15

+2×

7

15

+4×

4

15

=2．

點(diǎn)評：不同考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，關(guān)鍵是概率的計(jì)算，是中檔題．