Question

【題目】數(shù)列{an}滿足：a1= ，前n項(xiàng)和Sn= an ，
（1）寫出a2 ， a3 ， a4；
（2）猜出an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵ ，

∴令n=2， ，即a1+a2=3a2．∴ ．

令n=3，得 ，即a1+a2+a3=6a3，∴ ．

令n=4，得 ，a1+a2+a3+a4=10a4，∴

（2）

解：猜想 ，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明．

①當(dāng)n=1時(shí)， 結(jié)論成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 ，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

= ，

即 ．

∴

∴ ．

∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．

由①②可知，對(duì)一切n∈N+都有 成立

【解析】（1）根據(jù) ，利用遞推公式，分別令n=2，3，4．求出a1 ， a2 ， a3 ， a4；（2）根據(jù)（1）求出的數(shù)列的前四項(xiàng)，從而總結(jié)出規(guī)律猜出an ， 然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即得．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)列的通項(xiàng)公式，需要了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能得出正確答案．