Question

4．定義區(qū)間[x₁，x₂]長度為x₂-x₁（x₂＞x₁），已知函數(shù)f（x）=$\frac{{（a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]，則區(qū)間[m，n]取最大長度時a的值是3．

Answer 1

分析 化簡f（x），首先考慮f（x）的單調(diào)性，由題意：$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，故m，n是方程f（x）的同號的相異實數(shù)根．利用韋達定理和判別式，求出m，n的關(guān)系．在求最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a∈R，a≠0）的定義域是{x|x≠0}，則[m，n]是其定義域的子集，
∴[m，n]⊆（-∞，0）或（0，+∞）．
f（x）=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$=$\frac{a+1}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$在區(qū)間[m，n]上時增函數(shù)，則有：$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，
故m，n是方程f（x）=$\frac{a+1}{a}-\frac{1}{{a}^{2}x}$=x的同號相異的實數(shù)根，
即m，n是方程（ax）²-（a²+a）x+1=0同號相異的實數(shù)根．
那么mn=$\frac{1}{{a}^{2}}$，m+n=$\frac{a+1}{a}$，只需要△＞0，
即（a²+a）²-4a²＞0，解得：a＞1或a＜-3．
那么：n-m=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
故n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時$\frac{1}{a}=\frac{1}{3}$，解得：a=3．
即在區(qū)間[m，n]的最大長度為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，此時a的值等于3．
故答案為3．

點評 本題考查了函數(shù)性質(zhì)的方程的運用，有一點綜合性，利用函數(shù)關(guān)系，構(gòu)造新的函數(shù)解題．屬于中檔題，分類討論思想的運用，增加了本題的難度，解題時注意．