Question

3．在正四面體ABCD中，E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，記S為最大的截面面積，T為最小的截面面積，則$\frac{S}{T}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數據算出外接球半徑R=$\sqrt{6}$，過E點的截面到球心的最大距離為$\sqrt{2}$，再利用球的截面圓性質可算出截面面積的最小值、最大值，可得結論．

解答 解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示
可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
設正四面體ABCD的棱長為4，則正方體的棱長為2$\sqrt{2}$，
可得外接球半徑R滿足2R=2$\sqrt{2}$$•\sqrt{3}$，解得R=$\sqrt{6}$
E為棱BC的中點，過E作其外接球的截面，當截面到球心O的距離最大時，
截面圓的面積達最小值，
此時球心O到截面的距離等于正方體棱長的一半，
可得截面圓的半徑為r=2，得到截面圓的面積最小值為T=πr²=4π．
∵S=πR²=6π，∴$\frac{S}{T}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值、最大值．著重考查了正方體的性質、球內接多面體和球的截面圓性質等知識，屬于中檔題．