若直線l與圓⊙O：x2+y2=9，交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB是等邊三角形，則x1x2+y1y2=________．


分析：由△AOB是等邊三角形，可得AO=BO=AB=3，故考慮直線了l的斜率存在情況：分別就k存在與不存在兩種情況討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)容易求解當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為：y=kx+b，聯(lián)立方程可得（1+k2）x2+2kbx+b2-9=0，由已知可得O到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離可得b，k的關(guān)系，然后根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系代入求解，可得答案．
解答：由△AOB是等邊三角形，可得AO=BO=AB=3
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)可得滿足條件的直線 L：y=±，此時(shí)x1x2+y1y2=
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為：y=kx+b
聯(lián)立方程可得（1+k2）x2+2kbx+b2-9=0
∴
由已知可得O到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離可得
x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=
=
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓相交的性質(zhì)，聯(lián)立直線方程與曲線方程是解決弦長(zhǎng)問(wèn)題常見(jiàn)的方法，而利用點(diǎn)到直線的距離公式可以簡(jiǎn)化計(jì)算．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
6

（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；
（3）問(wèn)是否存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．若存在，寫(xiě)出直線m的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇一模）平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
6

（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；
（3）設(shè)M，P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交于x軸于點(diǎn)（m，0）和（n，0），問(wèn)mn是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xoy中，圓O的方程為x2+y2=1．
（1）若直線l與圓O切于第一象限且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，當(dāng)|AB|最小時(shí)，求直線l的方程；
（2）若A，B是圓O與x軸的交點(diǎn)，C是圓在直徑AB的上方的任意一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作CD⊥AB交圓O于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)C在圓O上移動(dòng)時(shí)，求證：∠OCD的角平分線經(jīng)過(guò)圓O上的一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
6

（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；
（3）問(wèn)是否存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．若存在，寫(xiě)出直線m的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江西省贛州市十一縣市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-y+1=0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于D，E，當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；
（3）問(wèn)是否存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．若存在，寫(xiě)出直線m的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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