【題目】已知圓C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等,求此切線的方程;
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1 , y1)向該圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】解:(1)∵切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,
∴當(dāng)截距不為零時(shí),設(shè)切線方程為x+y=a,
又∵圓C:(x+1)2+(y﹣2)2=2,
∴圓心C(﹣1,2)到切線的距離等于圓的半徑,
,
解得:a=﹣1或a=3,
當(dāng)截距為零時(shí),設(shè)y=kx,
同理可得k=2+或k=2-
則所求切線的方程為x+y+1=0或x+y﹣3=0或y=(2+)或y=(2-).
(2)∵切線PM與半徑CM垂直,
∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2
∴(x1+1)2+(y1﹣2)2﹣2=x12+y12
∴2x1﹣4y1+3=0.
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是直線2x﹣4y+3=0.
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值為原點(diǎn)O到直線2x﹣4y+3=0的距離d=,
∴由,可得
故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(-,).
【解析】(1)當(dāng)截距不為0時(shí),根據(jù)圓C的切線在x軸和y軸的截距相等,設(shè)出切線方程x+y=a,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到切線的距離d,讓d等于圓的半徑r,列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,得到切線的方程;當(dāng)截距為0時(shí),設(shè)出切線方程為y=kx,同理列出關(guān)于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,得到切線的方程;
(2)根據(jù)圓切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,得到三角形CPM為直角三角形,根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)P的軌跡方程,由軌跡方程得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為一條直線,所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值,求出原點(diǎn)到P軌跡方程的距離即為|PO|的最小值,然后利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出P到O的距離,把P代入動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,兩者聯(lián)立即可此時(shí)P的坐標(biāo).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間(﹣∞,0)上單調(diào)遞增的是( 。
A.f(x)=
B.f(x)=+1
C.f(x)=
D.f(x)=

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】求滿足下列條件的直線的方程:
(1)經(jīng)過兩條直線2x﹣3y+10=0和3x+4y﹣2=0的交點(diǎn),且垂直于直線3x﹣2y+4=0;
(2)經(jīng)過兩條直線2x+y﹣8=0和x﹣2y+1=0的交點(diǎn),且平行于直線4x﹣3y﹣7=0.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,直線與拋物線交于兩點(diǎn),過這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,且這兩條切線相交于點(diǎn).

(1)若的坐標(biāo)為,求的值;

(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過的直線與線段為直徑的圓相切,切點(diǎn)為,且直線與拋物線交于兩點(diǎn),證明: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為,直線與橢圓分別交于點(diǎn)、,記直線的斜率為.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)當(dāng)變化時(shí),試問直線是否恒過定點(diǎn)? 若恒過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不恒過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知,坐標(biāo)平面上一點(diǎn)P滿足: 的周長(zhǎng)為6,記點(diǎn)P的軌跡為.拋物線為焦點(diǎn),頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O.

(Ⅰ)求 的方程;

(Ⅱ)若過的直線與拋物線交于兩點(diǎn),問在上且在直線外是否存在一點(diǎn),使直線的斜率依次成等差數(shù)列,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)的解析式為
(1)求當(dāng)x<0時(shí)函數(shù)f(x)的解析式;
(2)用定義證明f(x)在(0,+∞)上的是減函數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某理財(cái)公司有兩種理財(cái)產(chǎn)品.這兩種理財(cái)產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下(每種理財(cái)產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨(dú)立):

產(chǎn)品

產(chǎn)品(其中

(Ⅰ)已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品和產(chǎn)品進(jìn)行投資,如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于,求的取值范圍;

(Ⅱ)丙要將家中閑置的10萬元錢進(jìn)行投資,以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù),在產(chǎn)品和產(chǎn)品之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】正方體ABCD﹣A1B1C1D1中直線BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值是

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案