Question

5．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB₁，BC₁上分別有兩點E，F(xiàn)，且$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，求證：EF∥平面ABCD．

Answer 1

分析 法一：證明一條直線與一個平面平行，除了可以根據(jù)直線與平面平行的判定定理以外，通常還可以通過平面與平面平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化，比如過E作EG∥AB交BB₁于點G，連接GF，根據(jù)三角形相似比可知：平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，故可以證得：EF∥平面ABCD；
法二：根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么直線和這個平面平行．故只需在平面ABCD中找到與EF平行的直線即可．

解答 解：方法一：如圖，在線段BB₁取點G，使得$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$，連結(jié)EG、FG．

則由$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，得EG∥AB，F(xiàn)G∥B₁C₁．
又AB?平面ABCD，EG?平面ABCD，
所以EG∥平面ABCD．
而B₁C₁∥BC，又FG∥B₁C₁，則FG∥BC，
又BC?平面ABCD，GF?平面ABCD，
所以GF∥平面ABCD，又EG∩FG=G，EG，F(xiàn)G?平面EGF，
所以平面EGF∥平面ABCD，又EF?平面EGF，
所以EF∥平面ABCD．
方法二：如圖，在AB上取點M，使MB：MA=1：2，在BC上取點N，使得CN：NB=1：2，連結(jié)EM、FN、MN，
則$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，所以EM∥BB₁且EM=$\frac{2}{3}$BB₁．
又由$\frac{{B}_{1}E}{EA}$=$\frac{{C}_{1}F}{FB}$=$\frac{1}{2}$，所以FN∥CC₁且FN=$\frac{2}{3}$CC₁，
又BB₁綊CC₁，所以EM綊FN，
所以四邊形EMNF為平行四邊形，
則EF∥MN，又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
則EF∥平面ABCD．

點評 本題主要考查了空間中的線面關(guān)系，三角形相似等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和思維能力．