【題目】甲、乙兩人輪流吹同一只氣球,當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)的氣體體積單位毫升大于2014時(shí),氣球會(huì)被吹破先由甲開(kāi)始吹入1毫升氣體,約定以后每次吹入的氣體體積為上一次體積的2倍或,且吹入的氣體體積為整數(shù)

(1)若誰(shuí)先吹破氣球誰(shuí)輸,問(wèn)誰(shuí)有必勝策略?證明你的結(jié)論

(2)若在不吹破氣球的前提下,約定單次吹入的氣體體積最大者為贏家如果吹入的體積相同,則最先吹出最大體積者為贏家).問(wèn)誰(shuí)有必勝策略?證明你的結(jié)論

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)設(shè)氣球的最大體積為(當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)氣體體積大于時(shí),氣球被吹破).

若甲有必勝策略,則記;若乙有必勝策略,則記

當(dāng),4,…,9時(shí),容易驗(yàn)證

,,,

猜想:,,其中,

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.

當(dāng)時(shí),經(jīng)試驗(yàn)結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.考慮

因?yàn)榍皟纱渭、乙吹入的氣體體積只能是甲1毫升、乙2毫升:

若第三次甲吹入1毫升,則乙吹入2毫升即轉(zhuǎn)化為的情形,由歸納假設(shè),最終乙勝;

若第三次甲吹入4毫升,則乙吹入2毫升即轉(zhuǎn)化為的情形,由歸納假設(shè),最終也是乙勝.

因此,

當(dāng)時(shí),甲第三次只需吹入1毫升,即轉(zhuǎn)化為的情形,

于是,由歸納假設(shè)

綜上,由數(shù)學(xué)歸納法,知猜想成立.

因?yàn)?/span>,所以,

故甲有必勝策略.

(2)設(shè)氣球的最大體積為(當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)氣體體積大于時(shí),氣球被吹破).若甲有必勝策略,則記;若乙有必勝策略,則記

當(dāng),4,…, 9時(shí),可以驗(yàn)證,

一般地,猜想:當(dāng)時(shí),

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.

當(dāng),8,9時(shí),由試驗(yàn)知結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立.

當(dāng)時(shí),因?yàn)榍皟纱渭住⒁掖等氲臍怏w體積只能是甲1毫升、乙2毫升,在第三次時(shí)甲只需吹入1毫升氣體,即轉(zhuǎn)化為的情形,由數(shù)學(xué)歸納法,最終甲是贏家,故

所以,當(dāng)時(shí),甲有策略使自己成為最終的贏家.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在某親子游戲結(jié)束時(shí)有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:盒子里面共有4個(gè)小球,小球上分別寫(xiě)有0,1,2,3的數(shù)字,小球除數(shù)字外其他完全相同,每對(duì)親子中,家長(zhǎng)先從盒子中取出一個(gè)小球,記下數(shù)字后將小球放回,孩子再?gòu)暮凶又腥〕鲆粋(gè)小球,記下小球上數(shù)字將小球放回.抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則是:若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積大于4,則獎(jiǎng)勵(lì)飛機(jī)玩具一個(gè);若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積在區(qū)間上,則獎(jiǎng)勵(lì)汽車(chē)玩具一個(gè);若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積小于1,則獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.

1)求每對(duì)親子獲得飛機(jī)玩具的概率;

2)試比較每對(duì)親子獲得汽車(chē)玩具與獲得飲料的概率,哪個(gè)更大?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知點(diǎn)在橢圓上,為坐標(biāo)原點(diǎn),直線的斜率與直線的斜率乘積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線)與橢圓交于,兩點(diǎn),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(與點(diǎn)不重合),直線軸分別交于兩點(diǎn),,求證:.

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【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn),以極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,將曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)保持不變,得到曲線

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)),點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)到直線距離的最大值.

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【題目】給出下列四個(gè)命題:

三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子,其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球是必然事件

當(dāng)為某一實(shí)數(shù)時(shí)可使是不可能事件

明天全天要下雨是必然事件

100個(gè)燈泡(6個(gè)是次品)中取出5個(gè),5個(gè)都是次品是隨機(jī)事件.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(

A.0B.1C.2D.3

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【題目】某公司準(zhǔn)備上市一款新型轎車(chē)零配件,上市之前擬在其一個(gè)下屬4S店進(jìn)行連續(xù)30天的試銷(xiāo).定價(jià)為1000/.試銷(xiāo)結(jié)束后統(tǒng)計(jì)得到該4S店這30天內(nèi)的日銷(xiāo)售量(單位:件)的數(shù)據(jù)如下表:

日銷(xiāo)售量

40

60

80

100

頻數(shù)

9

12

6

3

1)若該4S店試銷(xiāo)期間每個(gè)零件的進(jìn)價(jià)為650/件,求試銷(xiāo)連續(xù)30天中該零件日銷(xiāo)售總利潤(rùn)不低于24500元的頻率;

2)試銷(xiāo)結(jié)束后,這款零件正式上市,每個(gè)定價(jià)仍為1000元,但生產(chǎn)公司對(duì)該款零件不零售,只提供零件的整箱批發(fā),大箱每箱有60件,批發(fā)價(jià)為550/件;小箱每箱有45件,批發(fā)價(jià)為600/.4S店決定每天批發(fā)兩箱,根據(jù)公司規(guī)定,當(dāng)天沒(méi)銷(xiāo)售出的零件按批發(fā)價(jià)的9折轉(zhuǎn)給該公司的另一下屬4S.假設(shè)該4店試銷(xiāo)后的連續(xù)30天的日銷(xiāo)售量(單位:件)的數(shù)據(jù)如下表:

日銷(xiāo)售量

50

70

90

110

頻數(shù)

5

15

8

2

(。┰O(shè)該4S店試銷(xiāo)結(jié)束后連續(xù)30天每天批發(fā)兩大箱,這30天這款零件的總利潤(rùn);

(ⅱ)以總利潤(rùn)作為決策依據(jù),該4S店試銷(xiāo)結(jié)束后連續(xù)30天每天應(yīng)該批發(fā)兩大箱還是兩小箱?

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【題目】中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂(lè)”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動(dòng);“書(shū)”,指各種歷史文化知識(shí);“數(shù)”,數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng),每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“數(shù)”必須排在前三節(jié),且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰排課,則“六藝”課程講座不同排課順序共有( )

A. B. C. D.

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【題目】等腰直角△內(nèi)接于拋物線(),其中為拋物線的頂點(diǎn),,△的面積是16.

1)求拋物線的方程;

2)拋物線的焦點(diǎn)為,過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,證明:是一個(gè)定值.

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【題目】已知雙曲線,,為左,右焦點(diǎn),直線過(guò)右焦點(diǎn),與雙曲線的右焦點(diǎn)交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)軸上方,若,則直線的斜率為( )

A. B. C. D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案