【題目】等腰直角△內(nèi)接于拋物線(),其中為拋物線的頂點(diǎn),,△的面積是16.
(1)求拋物線的方程;
(2)拋物線的焦點(diǎn)為,過的直線交拋物線于兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),若,,證明:是一個定值.
【答案】(1);(2)證明見解析.
【解析】
(1)設(shè)點(diǎn),,由拋物線方程、兩點(diǎn)之間距離公式可得,結(jié)合面積即可得點(diǎn)A坐標(biāo),代入即可得解;
(2)設(shè)直線,點(diǎn),,由平面向量的知識可得,聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理即可得證.
(1)設(shè)點(diǎn),,則,,
因為△為等腰直角三角形,,所以,
所以,化簡得,
由,,可得,
所以即,所以點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱,
又△的面積是16,所以,
不妨設(shè)點(diǎn),所以,解得,
所以拋物線的方程為;
(2)證明:由題意可知點(diǎn),直線的斜率存在且不為0,
設(shè)直線,點(diǎn),,
所以點(diǎn),,,,
,
因為,,
所以,,
所以,
由消去x可得,,
所以,,
所以,
所以是一個定值, 且.
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【題目】在名學(xué)生中,已知任意三人中有兩人互相認(rèn)識,任意四人中有兩人互相不認(rèn)識,則的最大值為______.
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【題目】甲、乙兩人輪流吹同一只氣球,當(dāng)且僅當(dāng)氣球內(nèi)的氣體體積(單位:毫升)大于2014時,氣球會被吹破.先由甲開始吹入1毫升氣體,約定以后每次吹入的氣體體積為上一次體積的2倍或,且吹入的氣體體積為整數(shù).
(1)若誰先吹破氣球誰輸,問誰有必勝策略?證明你的結(jié)論.
(2)若在不吹破氣球的前提下,約定單次吹入的氣體體積最大者為贏家(如果吹入的體積相同,則最先吹出最大體積者為贏家).問:誰有必勝策略?證明你的結(jié)論.
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【題目】擎天柱為了防止魔方落入霸天虎手中,打算用激光刀將其銷毀.擎天柱使用的方法是:每次切割可將魔方分成兩個體積之比為的六面體,每個六面體恰包含魔方的一個面,且任兩次操作得到的截面在魔方中均有交點(diǎn),而魔方的屬性決定每次切割只能暫時將它割開,而無法分離,且只要它有的小正方體區(qū)域始終未被割到,就無法被銷毀,證明:無論擎天柱切割多少次,均無法銷毀魔方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)某種型號的農(nóng)機(jī)具零配件,為了預(yù)測今年7月份該型號農(nóng)機(jī)具零配件的市場需求量,以合理安排生產(chǎn),工廠對本年度1月份至6月份該型號農(nóng)機(jī)具零配件的銷售量及銷售單價進(jìn)行了調(diào)查,銷售單價(單位:元)和銷售量(單位:千件)之間的6組數(shù)據(jù)如下表所示:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
銷售單價(元) | 11.1 | 9.1 | 9.4 | 10.2 | 8.8 | 11.4 |
銷售量(千件) | 2.5 | 3.1 | 3 | 2.8 | 3.2 | 2.4 |
(1)根據(jù)1至6月份的數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(2)結(jié)合(1)中的線性回歸方程,假設(shè)該型號農(nóng)機(jī)具零配件的生產(chǎn)成本為每件3元,那么工廠如何制定7月份的銷售單價,才能使該月利潤達(dá)到最大?(計算結(jié)果精確到0.1)
參考公式:回歸直線方程,
參考數(shù)據(jù):,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),下列對函數(shù)的性質(zhì)描述正確的是( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
B.若,則函數(shù)f(x)有極值點(diǎn)
C.若,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減
D.若函數(shù)有且只有3個零點(diǎn),則a的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),下列判斷正確的是( )
A.是的極大值點(diǎn)
B.函數(shù)有且只有1個零點(diǎn)
C.存在正實(shí)數(shù),使得成立
D.對任意兩個正實(shí)數(shù),,且,若,則.
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【題目】2020年,新冠狀肺炎疫情牽動每一個中國人的心,危難時刻眾志成城,共克時艱,為疫區(qū)助力.福建省漳州市東山縣共101個海鮮商家及個人為緩解武漢物質(zhì)壓力,募捐價值百萬的海鮮輸送武漢.東山島,別稱陵島,形似蝴蝶亦稱蝶島,隸屬于福建省漳州市東山縣,是福建省第二大島,中國第七大島,介于廈門市和廣東省汕頭之間,東南是著名的閩南漁場和粵東漁場交匯處,因地理位置發(fā)展海產(chǎn)品養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢.根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗,某海鮮商家的海產(chǎn)品每只質(zhì)量(克)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布.
(1)隨機(jī)購買10只該商家的海產(chǎn)品,求至少買到一只質(zhì)量小于265克該海產(chǎn)品的概率;
(2)2020年該商家考慮增加先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入,該商家欲預(yù)測先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時的年收益增量.現(xiàn)用以往的先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入(千元)與年收益增量(千元).的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖,由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布,可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線的附近,且,,其中.根據(jù)所給的統(tǒng)計量,求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測先進(jìn)養(yǎng)殖技術(shù)投入為49千元時的年收益增量.
附:若隨機(jī)變量,則;
對于一組數(shù)據(jù),其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
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