Question

19．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（I）寫出直線l的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（II）直線l與曲線C₂交于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）利用坐標互化的方法寫出直線l的普通方程和曲線C₂的直角坐標方程；
（II）利用參數(shù)的幾何意義，求|AB|．

解答 解：（I）直線l的普通方程為x-y+1=0，曲線C₂的直角坐標方程為x²+（y-2）²=4；   …（5分）
（II）設(shè)A、B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t_A，t_B
將$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t為參數(shù)）$代入x²+y²-4y=0并化簡整理可得${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$，從而$\left\{{\begin{array}{l}{{t_A}+{t_B}=-\sqrt{2}}\\{{t_A}{t_B}=-3}\end{array}}\right.$，
因此，$|{AB}|=\sqrt{{{（{t_A}+{t_B}）}^2}-4{t_A}{t_B}}=\sqrt{14}$．

點評 本題考查參數(shù)方程和極坐標方程與普通方程的互化，考查參數(shù)方程的運用，屬于中檔題．